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1. Calculemos el dominio de la función
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11. Sea $f(x)=x+2 \cos (x)$. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$ en el intervalo $[-\pi ; \pi]$. Hacer un gráfico aproximado.
Respuesta
Yo sé que asusta que sea una función trigonométrica pero no te preocupes, se resuelve exactamente igual que cualquier ejercicio de estudio de funciones usando la derivada. ¡Así que relax!
\( f(x) \) está definida para todos los valores de \( x \) en el intervalo \([-π, π]\), ya que no hay restricciones en la función dada, es una trigonométrica.
$ \text{Dom}(f) = [-π, π] $
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = x + 2 \cos(x) $
$ f'(x) = 1 - 2 \sin(x) $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = [-π, π] \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 1 - 2 \sin(x) = 0 $
$ \sin(x) = \frac{1}{2} $
Los valores de \( x \) en el intervalo \([-π, π]\) que satisfacen esta ecuación son:
$ x_1 = \frac{π}{6} $
$ x_2 = \frac{5π}{6} $
(Podés usar el círculo trigométrico de $-\pi$ a $pi$ o evaluar para distintos valores de $k$ pero me parece que es un montón esa segunda opción).
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \([-π, \frac{π}{6})\): \( f'(-\frac{π}{2}) = 1 - 2 \sin(-\frac{π}{2}) = 1 + 2 = 3 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \((\frac{π}{6}, \frac{5π}{6})\): \( f'(\frac{π}{2}) = 1 - 2 \sin(\frac{π}{2}) = 1 - 2 = -1 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \((\frac{5π}{6}, π]\): \( f'(π) = 1 - 2 \sin(π) = 1 - 0 = 1 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = \frac{π}{6} \) y \( x = \frac{5π}{6} \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = \frac{π}{6} \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = \frac{5π}{6} \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{π}{6} + 2 \cos\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{π}{6} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} + \sqrt{3} $
$ f\left(\frac{5π}{6}\right) = \frac{5π}{6} + 2 \cos\left(\frac{5π}{6}\right) = \frac{5π}{6} + 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5π}{6} - \sqrt{3} $
Respuesta:
Intervalo de crecimiento: \( [-π, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5π}{6}, π] \)
Intervalo de decrecimiento: \( (\frac{π}{6}, \frac{5π}{6}) \)
Máximo relativo en \( x = \frac{π}{6} \) con coordenada \( \left(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3}\right) \)
Mínimo relativo en \( x = \frac{5π}{6} \) con coordenada \( \left(\frac{5π}{6}, \frac{5π}{6} - \sqrt{3}\right) \)
Gráfico aproximado:
Para el gráfico, se puede observar que la función \( f(x) = x + 2 \cos(x) \) tiene un comportamiento oscilatorio debido al término \( 2 \cos(x) \). La función tiene un máximo relativo en \( x = \frac{π}{6} \) y un mínimo relativo en \( x = \frac{5π}{6} \).