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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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11. Sea f(x)=x+2cos⁡(x)f(x)=x+2 \cos (x). Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de ff en el intervalo [−π;π][-\pi ; \pi]. Hacer un gráfico aproximado.

Respuesta

Yo sé que asusta que sea una función trigonométrica pero no te preocupes, se resuelve exactamente igual que cualquier ejercicio de estudio de funciones usando la derivada. ¡Así que relax!

1. Calculemos el dominio de la función
f(x) f(x) está definida para todos los valores de x x en el intervalo [−π,π][-π, π], ya que no hay restricciones en la función dada, es una trigonométrica.
Dom(f)=[−π,π] \text{Dom}(f) = [-π, π]


2. Hallamos la derivada de la función
f(x)=x+2cos⁡(x) f(x) = x + 2 \cos(x)
f′(x)=1−2sin⁡(x) f'(x) = 1 - 2 \sin(x)

3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de f f donde la derivada no está definida:
El Dom(f)=Dom(f′)=[−π,π] \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = [-π, π] . No obtuvimos puntos críticos de acá.

3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:

1−2sin⁡(x)=0 1 - 2 \sin(x) = 0
sin⁡(x)=12 \sin(x) = \frac{1}{2}
Los valores de x x en el intervalo [−π,π][-π, π] que satisfacen esta ecuación son:
x1=π6 x_1 = \frac{π}{6}

x2=5π6 x_2 = \frac{5π}{6}

(Podés usar el círculo trigométrico de −π-\pi a pipi o evaluar para distintos valores de kk pero me parece que es un montón esa segunda opción).

4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada f′(x) f'(x) en cada intervalo:
-> Para x x en Intervalo [−π,π6)[-π, \frac{π}{6}): f′(−π2)=1−2sin⁡(−π2)=1+2=3>0 f'(-\frac{π}{2}) = 1 - 2 \sin(-\frac{π}{2}) = 1 + 2 = 3 > 0 . Es decir que f f crece.
-> Para x x en Intervalo (π6,5π6)(\frac{π}{6}, \frac{5π}{6}): f′(π2)=1−2sin⁡(π2)=1−2=−1<0 f'(\frac{π}{2}) = 1 - 2 \sin(\frac{π}{2}) = 1 - 2 = -1 < 0 . Es decir que f f decrece.

-> Para x x en Intervalo (5π6,π](\frac{5π}{6}, π]: f′(π)=1−2sin⁡(π)=1−0=1>0 f'(π) = 1 - 2 \sin(π) = 1 - 0 = 1 > 0 . Es decir que f f crece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos x=π6 x = \frac{π}{6} y x=5π6 x = \frac{5π}{6} son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> x=π6 x = \frac{π}{6} : Es un máximo relativo ya que f′(x) f'(x) pasa de positivo a negativo.
-> x=5π6 x = \frac{5π}{6} : Es un mínimo relativo ya que f′(x) f'(x) pasa de negativo a positivo.

Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de x x en la función f(x) f(x) :
f(π6)=π6+2cos⁡(π6)=π6+2⋅32=π6+3 f\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{π}{6} + 2 \cos\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{π}{6} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} + \sqrt{3}
f(5π6)=5π6+2cos⁡(5π6)=5π6+2⋅(−32)=5π6−3 f\left(\frac{5π}{6}\right) = \frac{5π}{6} + 2 \cos\left(\frac{5π}{6}\right) = \frac{5π}{6} + 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5π}{6} - \sqrt{3}


Respuesta: Intervalo de crecimiento: [−π,π6)∪(5π6,π] [-π, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5π}{6}, π] Intervalo de decrecimiento: (π6,5π6) (\frac{π}{6}, \frac{5π}{6}) Máximo relativo en x=π6 x = \frac{π}{6} con coordenada (π6,π6+3) \left(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3}\right) Mínimo relativo en x=5π6 x = \frac{5π}{6} con coordenada (5π6,5π6−3) \left(\frac{5π}{6}, \frac{5π}{6} - \sqrt{3}\right)

Gráfico aproximado: Para el gráfico, se puede observar que la función f(x)=x+2cos⁡(x) f(x) = x + 2 \cos(x) tiene un comportamiento oscilatorio debido al término 2cos⁡(x) 2 \cos(x) . La función tiene un máximo relativo en x=π6 x = \frac{π}{6} y un mínimo relativo en x=5π6 x = \frac{5π}{6} .


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Blas
17 de marzo 20:39
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0 Responder
Julieta
PROFE
18 de marzo 20:29
@Blas Bien.. veo cuando analizas el signo de la derivada en cada intervalo, al reemplazar los valores en la función estás usando probablemente la calculadora en grados (D), cuando tenés que usarla en radianes (R) en trigonometría. Esto lo configuras en tu calcu tocando la tecla MODE o SHIF+MODE.😉

Pero por oootra parte, cuando vos resolves por ejemplo: sen(π2)sen(\frac{\pi}{2}) en la calcu, tenés que poner escribirlo así: sen(π/2)sen(\pi/2), y no equivocarte y poner: sen(π)/2sen(\pi)/2, ojo porque ahí es común equivocarse. 

Probá de esa forma y contame 🙂
1 Responder
Blas
18 de marzo 21:13
@Julieta Graciasnuevamente de menos infinito a más infinito profe
0 Responder
Blas
12 de marzo 20:32
Profe no sé qué estoy haciendo mal. Llegué a la derivada y a los puntos críticos todo bien. Después no sé si estoy usando mal la calculadora. Sigo paso a paso la solución que aparece en la guía y llego a resultados diferentes. 
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Julieta
PROFE
13 de marzo 12:35
@Blas ¡Hola Blas! Subí acá la foto de tu desarrollo después de haber hallado los puntos críticos a ver si puedo darte una mano 
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Blas
17 de marzo 20:40
@Julieta Gracias!
0 Responder